On considère une suite de lancers de pièces bien équilibrées.  Intro  Le joueur J gagne si la séquence (Pile, Pile, Face) apparaît en premier. Le joueur J' gagne si la séquence (Face, Pile, Pile) apparaît en premier. La varaiable aléatoire Y désigne le rang du lancer où pour la première fois apparaît la séquence (Pile, Pile, Face). La varaiable aléatoire Y' désigne le rang du lancer où pour la première fois apparaît la séquence (Face, Pile, Pile). Le paradoxe tient à ce que le joueur J' a davantage de chance de gagner que le joueur J (le jeu) alors que les temps d'attente des configurations (Pile, Pile, Face) et (Face, Pile, Pile) suivent la même loi (étude des variables aléatoires Y et Y' ci-dessous) On continue les tirages même si l'un des deux configuration (Pile, Pile, Face) ou (Face, Pile, Pile) est déjà apparue. Si la configuration (Pile, Pile, Face) n'apparaît pas, on note Y=0. de même Y'=0 si (Face, Pile, Pile) n'apparaît pas. lancer  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  valeur de Y  valeur de Y'    Pile  Pile  Pile  Face   Face  Pile   Face  Pile   Face   Face  4  0     Face  Pile   Face  Pile  Pile   Face  Pile   Face   Face  Pile  6  5    Pile   Face  Pile   Face  Pile   Face  Pile  Pile  Pile   Face  10  8   Pour de petites valeurs de n, on peut comparer avec le jeu de pile ou face, la différence vient qu'on peut avoir Y'=3 et Y=4  premier lancer  Face   Face   Face   Face   Face   Face   Face   Face  Pile  Pile  Pile  Pile  Pile  Pile  Pile  Pile  deuxième lancer   Face   Face   Face   Face  Pile  Pile  Pile  Pile   Face   Face   Face   Face  Pile  Pile  Pile  Pile  troisième lancer   Face   Face  Pile  Pile   Face   Face  Pile  Pile   Face   Face  Pile  Pile   Face   Face  Pile  Pile  quatrième lancer   Face  Pile   Face  Pile   Face  Pile   Face  Pile   Face  Pile   Face  Pile   Face  Pile   Face  Pile  valeur de Y  0   0   0   0   0   0  4  0   0   0   0  0  3  3  4   0  valeur de Y'  0   0   0  4   0   0  3  3   0   0   0  4  0  0  0   0 Soit n un entier supérieur à 3, on appelle Bn l'événement le lancer (n-2) est pile, le lancer (n-1) est pile et le lancer n est face, sans se préoccuper de savoir si la configuration (Pile, Pile, Face) est déjà apparue précédemment. Les lancers successifs étant indépendant, on a P(Bn)= 1/8. On appelle B'n l'événement correspondant à la configuration (Face, Pile, Pile). On note Un la probabilité d'avoir B3 ou B4 ou .. ou Bn et U'n la probabilité d'avoir B'3 ou B'4 ou .. ou B'n. On a P (Y≤n) = Un, de même pour les primes. U3=U'3= 1/8 et U4=U'4=1/4 U5 est la probabilité d'avoir B3 ou B4 ou B5. Ces événements sont disjoints deux à deux :  lancer  1  2  3  4  5  B3  Pile  Pile  Face  ?  ?  B4  ?  Pile  Pile  Face  ?  B5  ?  ?  Pile  Pile  Face Donc U5= P(B3) + P(B4) = P(B5) = 1/8 + 1/8 + 1/8, U5=U'5=3/8 Pour les grandes valeurs de n, on cherche à exprimer Un+1 en fonction de Un, Un-1, Un-2... Un+1 = P (Y≤n+1)= P(Y=n+1 ou Y≤n), ces deux événements Y=n+1 et Y≤n étant disjoints, on a Un+1 = P(Y=n+1) + P(Y≤n) = P(Y=n+1) + Un (E) Y=n+1 si la configuration (Pile, Pile, Face) vient d'apparaître, c'est à dire Bn+1 et si c'est la première fois c'est à dire Y>n P (Y=n+1) = P (Bn+1 et Y>n) Les événements Bn+1 et Y>n ne sont pas indépendants, en effet Bn+1 n'est pas indépendant de Bn, puisqu'il est impossible d'avoir Bn et Bn+1  lancer  n-3  n-2  n-1  n  n+1  Bn-1  Pile  Pile  Face  ?  ?  Bn  ?  Pile  Pile  Face  ?  Bn+1  ?  ?  Pile  Pile  Face Si on a Bn+1, on ne peut pas ni Bn ni B-1, il est impossible d'avoir Y=n ou Y=n-1, par contre on peut avoir Y=n+1 ou Y=k pour 3≤k≤n-2 Autrement dit, Bn+1 est la somme des éléments disjoints (Bn+1 et Y=n+1) et (Bn+1 et Y≤n-2) P(Bn+1)= P(Bn+1 et Y=n+1) + P(Bn+1 et Y≤n-2) Les événements Bn+1 et Y≤n-2 sont indépendants, P(Bn+1)= P(Bn+1 et Y=n+1) + P(Bn+1) x P(Y≤n-2), ce qui donne 1/8=P(Bn+1 et Y=n+1) + (1/8) x Un-2, P(Bn+1 et Y=n+1)=(1/8) x (1-Un-2), en remplaçant dans (E), on a Un+1=Un + (1/8) x (1-Un-2) Il en est de même pour les primes, comme U3=U'3 et U5=U'5, on a U6=U'6, comme U4=U'4 et U6=U'6, on a U7=U'7. Par récurrence, on a donc pour tout n : Un=U'n Comme P(Y=n) = P(Y≤n) - P(Y≤n-1)=Un - Un-1= (1/8) x (1-Un-2), on a Pour tout n, P(Y=n) = P(Y'=n), ce qui sigifie que les varaiable aléatoires Y et Y' suivent la même loi. Les suites de cinq lancers qui contiennent (Pile, Pile, Face) ou (Face, Pile, Pile)  premier   Face  Face  Face  Face  Face  Face  Face  Pile  Pile   Pile  Pile  Pile Pile  Pile  deuxième   Face    Face  Face   Pile  Pile  Pile  Pile  Face  Face  Face  Pile  Pile  Pile  Pile  troisième   Face   Pile   Pile  Face  Pile  Pile  Pile  Face  Pile   Pile  Face  Face  Pile  Pile  quatrième   Pile   Pile   Pile   Pile  Face  Pile  Pile  Pile  Pile   Pile    Pile  Face  Pile  cinquième   Pile    Face   Pile   Pile    Pile  Face  Pile  Face   Pile    Pile     Face  valeur de Y  0  5  0  0  4,4  0  5  0  5  0  3,3,3  3  4,4  5   valeur de Y'  5  4  4  5  3,3  3  3  5  4  4  0,0,0  5  0,0  0 Etude du jeu

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